Milieu d'un segment

Propriété
On se place dans un repère \(\left( \text O~ ; \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)\) du plan.
On considère deux points \(\text A \left( x_{\text A} ; y_{\text A}\right)\) et \(\text B \left( x_{\text B} ; y_{\text B}\right)\).
Le milieu du segment \([\text{AB}]\) est le point \(\boxed{\text M \left(\dfrac{x_{\text A} + x_{\text B}}{2} ; \dfrac{y_{\text A} + y_{\text B}}{2} \right)}\) .

Démonstration
Dans un repère \(\left( \text O ~; \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)\) du plan, on considère deux points \(\text A \left( x_{\text A} ; y_{\text A}\right)\) et \(\text B \left( x_{\text B} ; y_{\text B}\right)\).
Soit \(\text M\left( x_{\text M} ; y_{\text M} \right)\) le milieu du segment \([\text{AB}]\). Alors le point \(\text M\) vérifie l'égalité \(\overrightarrow{\text{AM}} = \overrightarrow{\text{MB}}\).
Or, on a \(\overrightarrow{\text{AM}} \begin{pmatrix} x_{\text M} - x_{\text A}\\ y_{\text M} - y_{\text A} \end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{\text{MB}} \begin{pmatrix} x_{\text B} - x_{\text M}\\ y_{\text B} - y_{\text M} \end{pmatrix}\).
Les vecteurs \(\overrightarrow{\text{AM}}\) et \(\overrightarrow{\text{MB}}\) étant égaux, ils ont les mêmes coordonnées.
On obtient le système suivant :
\(\begin{cases} x_{\text M} - x_{\text A} = x_{\text B} - x_{\text M} \\ y_{\text M} - y_{\text A} = y_{\text B} - y_{\text M} \\ \end{cases} \iff \begin{cases} 2 \times x_{\text M} = x_{\text A} + x_{\text B} \\ 2 \times y_{\text M} = y_{\text A} + y_{\text B} \\ \end{cases} \iff \begin{cases} x_{\text M} = \dfrac{x_{\text A} + x_{\text B}}{2} \\ y_{\text M} = \dfrac{y_{\text A} + y_{\text B}}{2} \\ \end{cases}\)

On peut conclure que \(\boxed{\text M \left( \dfrac{x_{\text A} + x_{\text B}}{2} ; \dfrac{y_{\text A} + y_{\text B}}{2}\right)}\) .

Exemple
Dans un repère \(\left( \text O~ ; \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)\) du plan, on considère deux points \(\text A \left( \color{green}{-1}~ ; \color{red}{5}\right)\) et \(\text B \left( \color{blue}{3}~ ; \color{orange}{-7}\right)\).
On détermine les coordonnées du point \(\text M\), milieu du segment \([\text{AB}]\).
Alors on a \(\text M \left( \dfrac{\color{green}{x_{\text A}} + \color{blue}{x_{\text B}}}{2} ; \dfrac{\color{red}{y_{\text A}} + \color{orange}{y_{\text B}}}{2} \right)\)
soit \(\text M \left( \dfrac{\color{green}{-1} + \color{blue}{3}}{2} ; \dfrac{\color{red}{5} + (\color{orange}{-7})}{2} \right)\)

soit \(\boxed{\text M \left( 1~ ; -1 \right)}\).